Weder Riemann noch Lobatschewskij

Bericht zum Thema Nachdenkliches

von  Graeculus

Euklid war ein griechischer Mathematiker um 300 v.u.Z., der am Museion in Alexandria wirkte. Berühmt ist er vor allem für seine Axiomatisierung u.a. der Geometrie, die im sog. Parallelenpostulat gipfelt:

Gegeben seien eine Gerade g sowie ein Punkt P, der nicht auf dieser Geraden liegt.

. P


____________ g



Euklid: Dann gibt es durch den Punkt P genau eine Gerade, die parallel zu g ist.
Parallel bedeutet, daß die Gerade durch P auch im Unendlichen g nicht schneidet bzw. immer den gleichen Abstand von g hat.
Um ein Postulat oder Axiom handelt es sich, weil das nicht beweisbar ist, sondern angenommen wird.

Und auch wenn dies nach einer Aussage über Flächen klingt, braucht man sich nur vorzustellen, daß P nicht nur auf einer Ebene mit g liegt, sondern diese Ebene horizontal oder vertikal zu g liegen kann. Auf diese Weise ist daher der euklidische Raum festgelegt. Intuitiv klingt das Postulat – selbst wenn es nicht beweisbar ist – richtig, denn so erleben wir den Raum.

Zwei Mathematiker des 19. Jahrhunderts, Bernhard Riemann und Nikolai Lobatschewskij, haben alternative Postulate formuliert:

Riemann: Dann gibt es durch den Punkt P keine Gerade, die parallel zu g ist.
Lobatschewskij: Dann gibt es durch den Punkt P mindestens zwei Geraden, die parallel zu g sind.

Ein so definierter Raum ist auf die eine oder andere Weise gekrümmt.

Seit Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie wissen wir, daß der Weltraum durch die Gravitation gekrümmt wird und daher kein Euklidischer Raum ist, sondern ein Riemannscher.

Dennoch hat die europäische Raumfahrtbehörde ESA, als sie jüngst ein Teleskop ins Weltall schickte, um nach der Dunklen Materie zu forschen, diesen Satelliten Euclid genannt.
Offenbar ist die Antike auch heute noch populär. Populärer jedenfalls als Riemann und Lobatschewskij.


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Kommentare zu diesem Text


 Verlo (12.07.23, 08:37)
Graeculus: 

Seit Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie wissen wir, ...
Weil jemand eine Theorie aufstellt, wissen wir, also zB du und ich?

Also ich weiß es nicht. Ich habe es gehört und gelesen.

Ebenso, daß das Universum durch einen Urknall ist.

... daß die Menschen das Klima auf der Erde zum Kochen bringen.

... daß Jesus uns alle retten wird.

#

Ich hoffe, Graeculus, es werden mindestens alle deinen Text kommentieren, die ein höheres Niveau auf KeinVerlag erhoffen.

 Graeculus meinte dazu am 12.07.23 um 23:03:
Die Spezielle und die Allgemeine Relativitätstheorie sind relativ gut nachvollziehbar, wenn man sich damit befaßt - nachvollziehbarer jedenfalls als die Quantenmechanik.

Zum Urknall und zu anderen Singularitäten gibt es interessante Ansichten; ich lese recht viel darüber ... und denke mit. Da die im Bereich solcher Singularitäten die normalen physikalischen Gesetze nicht gelten und auch nichts daran experimentell überprüfabr ist, handelt es sich dabei in der Tat nur um Theorien, und die sind nicht unumstritten.

Von außerwissenschaftlichen Aussagen wie "Jesus ist Gottes Sohn" unterscheidet sich das aber immer noch durch den Umstand, welche Rolle die Mathematik dabei spielt, die Sprache der Naturwissenschaften.

 Verlo antwortete darauf am 12.07.23 um 23:59:
Graeculus, ich bezog mich nicht auf die Relativitätstheorie an sich, sondern deine Aussage:

... daß der Weltraum durch die Gravitation gekrümmt wird und daher kein Euklidischer Raum ist, sondern ein Riemannscher.
Denn dir geht es ja um den Raum.

Auch wenn man es mathematisch beweisen kann, ist nicht sicher, ob der Weltraum tatsächlich ein gekrümmter Raum ist. Oder gibt es einen anderen Beweis außer den mathematischen?

Die Urknall-Theorie ist eine Theorie und wird es auch bleiben. Man sieht und hört nichts von einem Urknall im Weltraum, sondern daß er viel größer ist als er nach einem Urknall jetzt sein könnte. (Falls ich das richtig verstanden habe.)

Letztendlich ist die Urknalltheorie (von einem Jesuiten) entwickelt worden, um der Schöpfung durch Gott eine wissenschaftliche Grundlage zu geben.

So wie man derzeit im Vatikan daran "forscht", daß Jesus ein Sternenkind ist, um eine Weltreligion für die Weltregierung zu schaffen.  

Die Aussage, daß du Sohn deines Vaters bist, ist richtig, auch wenn außerwissenschaftlich.

Wie sehr in der Wissenschaft manipuliert wird, wissen wir nicht erst seit Corona und menschengemachten Klimawandel.

Im Grunde zeigt dein Text die Vorgehensweise: die logische Kette ist richtig, aber es wird von unsicheren Voraussetzungen ausgegangen.

Aber, so vermute ich, Graeculus, geht es dir nicht wirklich um den Weltraum, sondern daß man auf einen alten Griechen bei der Namensgebung zurückgegriffen hat.

Ist doch verständlich: man will schon im Namen zeigen, daß man etwas Besonders geschaffen hat.

 Graeculus schrieb daraufhin am 13.07.23 um 00:19:
Die Raumkrümmung ist experimentell bzw. durch Beobachtung vielfach nachgewiesen. Dank ihrer sieht man Sterne, die man eigentlich nicht sehen dürfte, weil sie hinter einem anderen Objekt liegen.

Bei den Singularitäten sind die Ergebnisse Stephen Hawkings sehr bedeutend; der war allerdings theoretischer Physiker. Singularitäten kann man logischerweise nicht direkt erforschen; doch die von ihnen ausgehende Strahlung, die Hawking-Strahlung, ist inzwischen nachgewiesen. Schwarze Löcher 'verdampfen'.
Wichtig ist, daß bei Singularitäten einige Parameter den Wert Unendlich annehmen, und dann ist es aus mit den bekannten Naturgesetzen. Da auch das Universum anfangs eine Singularität war, ist höchst fraglich, ob man über den Urknall irgendwann einmal wissenschaftliche Aussagen wird treffen können.
Taina (39)
(12.07.23, 11:45)
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 Graeculus äußerte darauf am 12.07.23 um 23:07:
Dementsprechend habe ich eine Änderung am Text vorgenommen.
Für mich kommt es darauf an, daß Euklid, obwohl er in der Geometrie (und im Verständnis des Universums) eine ähnliche Bedeutung hat wie Newton seit Einstein, doch noch populär genug ist, um Namenspatron einer Raumsonde zu sein. Und nicht Riemann oder Lobatschewskij.

Es ist mal ein Versuch, das Thema Mathematik anzusprechen, was bei kV ja nicht gerade häufig vorkommt. Kann man Mathematik mit Literatur verbinden?

Für jede Kritik bin ich dankbar, denn meine Kenntnisse sind die eines Laien.

 AlmaMarieSchneider (12.07.23, 11:54)
Schon Gauß war der Meinung, dass nicht unbedingt eine euklidische Geometrie des Raumes vorliegen müsse.
Riemann und Lobatschewskij nahmen sich des "Parallelenproblems" an.
Euklid baute die Geometrie konsequent axiomatisch-dedektiv auf und seine Theorie hatte nahezu 2000 Jahre Gültigkeit. Warum können nicht beide Theorien nebeneinander Gültigkeit haben.

Meiner Meinung nach hat der Euklid es verdient, dass man einen Satelliten nach ihm benennt.
Einer der größten Wissenschaftler überhaupt.

 Graeculus ergänzte dazu am 12.07.23 um 23:13:
Warum können nicht beide Theorien nebeneinander Gültigkeit haben?

Es sind, so scheint es mir, unterschiedliche Postulate bzw. Axiome, die in unterschiedlichen Bereichen Gültigkeit haben. Wenn der Weltraum ein Riemannscher ist, dann kommt es mir mit dem Euklid so vor wie mit dem Newton nach Einstein: Newtons Physik gilt in einem begrenzten Rahmen.

Wenn man sich an Euklid als Teil unserer wissenschaftlichen Tradition erinnert, begrüße ich das sehr - vor allem dann, weil/wenn es mit der Antike zu tun hat.
Aufgefallen ist mir, welche große Bedeutung sie überhaupt bei der Namensgebung im Bereich der Astronomie hat: Planeten, Monde, Sternbilder - überall Gestalten aus der griechischen Mythologie. Nur auf der Südhalbkugel ist das wohl anders: Dort gibt es z.B. ein Sternbild mit Namen Luftpumpe. Klingt nicht sehr poetisch, oder?

 AlmaMarieSchneider meinte dazu am 12.07.23 um 23:32:
Luftpumpe? Himmel, wer hat sich das wieder einfallen lassen.


Es sind, so scheint es mir, unterschiedliche Postulate bzw. Axiome, die in unterschiedlichen Bereichen Gültigkeit haben.
Das denke ich auch.

 Graeculus meinte dazu am 12.07.23 um 23:37:
Das Sternbild der Luftpumpe ist nur ein Beispiel. Da gibt es noch mehrere, die ganz und gar technisch sind. Es war halt eine andere Zeit, in der sie benannt worden sind.

 Augustus (12.07.23, 11:55)
Letztlich läuft es darauf hinaus, dass die gerade sich krümmen können und bei extremer Krümmung sie sogar gebogen und einen Kreis bilden können. 

Einstein hat durch seine allg. Relativitätstheorie mathematisch gezeigt, dass das Sonnenlicht sich beim Flug nahe eines Planeten durch dessen gravitation krümmt, und von seiner vorherigen geraden Linie ablenkt. Dies wurde sogar experimentell an einer Sonnenfinsternis bestätigt. 

Dass der Satellit nun mal euclid und nicht Riemann heißt, ist ja fast egal, Hauptsache sie kommen aus der Mathematik. 

Abgesehen davon, verläuft das Licht in alle Richtungen gerade - so dass bei der Annahme euclid recht hat - es sei denn, die Gravitation einer Masse lenkt es mal ab.

Definiert man folgendes: der Raum hat keine weitere Masse als die Sonne, dann hat euclid recht. 

Der nächste Satellit wird sicherlich Riemann oder Gauß heißen. Denn Gauß hat sich mit gekrümmten Linien auch beschäftigt.

 Augustus meinte dazu am 12.07.23 um 11:58:
Andererseits beweisen die Namensgeber Witz! Einen Satelliten auf eine elliptische Bahn zu bringen, und euclid zu nennen, der das postulat von geraden aufstellte.

 AlmaMarieSchneider meinte dazu am 12.07.23 um 12:50:
An diesen Humor dachte ich auch und musste kurz auflachen. Verdient hat er es aber.
Taina (39) meinte dazu am 12.07.23 um 12:58:
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 AlmaMarieSchneider meinte dazu am 12.07.23 um 13:17:
Nein, Euklid wurde nicht widerlegt. Schon Gauß hielt das "Parallelenproblem" für nicht lösbar.
Für die euklidsche Theorie ist das Parallelaxiom unverzichtbar. Riemann hat es negiert und konnte völlig widerspruchsfreie Theorien aufstellen.
Taina (39) meinte dazu am 12.07.23 um 13:31:
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 Graeculus meinte dazu am 12.07.23 um 23:19:
Ja, der Weltraum ist in sich gekrümmt ... und wenn man immer geradeaus geht (möglichst mit Lichtgeschwindigkeit), kommt man wieder am Ausgangspunkt an.

Die Raumkrümmung durch Gravitation ist durch Beobachtungen gut bestätigt. Und hat man nicht erst kürzlich sogar Gravitationswellen nachgewiesen?

Nur mit der Quantisierung der Gravitation kommt man nicht voran, weshalb der Traum der Physiker - Relativitätstheorie und Quantenmechanik in einer Theorie zu vereinen - weiterhin ein Traum bleibt.

Die antike Atomtheorie allerdings, die geht von falschen Annahmen aus (z.B. daß alle Atome gleich seien) und gilt deshalb nicht mehr viel.

 Graeculus meinte dazu am 12.07.23 um 23:20:
P.S.:
An die humorige Seite der Namensgebung, auf die Augustus hinweist, hatte ich nicht gedacht.

 TrekanBelluvitsh (12.07.23, 13:30)
Hier geht es nicht um Bedeutung, sondern um Bekanntheit. Darum sind Sponsoren auch lieber der 50 Name auf der Werbetafel de FC Bayern München für 2 Mio € als für 1 Mio € der Trikotsponsor des 1. FC Magdeburg.

Apropos Fußball: Bei einer Benenung nach Riemann würde sich zumindest in Deutschland die Fußballbevölkerung fragen, was der Torwart des VfL Bochum mit der ESA zu tun hat.

 AlmaMarieSchneider meinte dazu am 12.07.23 um 13:36:
Ach ja stimmt, der hieß ja auch Riemann.  :D

 Graeculus meinte dazu am 12.07.23 um 23:23:
Ein wichtiger Gesichtspunkt bei der Entscheidung für den Namen: die Bekanntheit und die Unverwechselbarkeit. Riemann müßte man den Fernsehzuschauern und Zeitungslesern allererst erklären.
Und der Vfl Bochum hat nicht genügend Geld, um bei Raumsonden als Sponsor aufzutreten. Da können wir eher eine Sonde mit Namen Hoeneß erwarten.

 Dieter Wal (12.07.23, 23:17)
Seit Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie wissen wir
Sag bloß, Du hast sie gelesen. Das findet man außer unter Physikern selten.


Studiertest Du auch Mathematik?


Euklid: Dann gibt es durch den Punkt P genau eine Gerade, die parallel zu g ist.
Stellte sich Euklid Punkte und Geraden ohne Größenverhältnisse vor?


Bin von den meisten Kommentaren schwer beeindruckt, dass hier sogar mehrere Autoren höhere Mathematikkenntnisse zu haben scheinen.

 Graeculus meinte dazu am 12.07.23 um 23:26:
Meine mathematischen und physikalischen Kenntnisse sind begrenzt und können sicher nicht mit meinem Interesse Schritt halten. Aber Einsteins Veröffentlichungen habe ich im Nachdruck, den es einmal bei der WBG gab, und populärwissenschaftliche Darstellungen lese ich sehr gerne, speziell Kosmologie und Quantenphysik.
Ich bin dankbar, daß auch namhafte Forscher es nicht verschmähen, solche Darstellungen zur Popularisierung ihres Faches zu verfassen.

 Dieter Wal meinte dazu am 12.07.23 um 23:38:
Seit ich den Wälzer  "Die Klassiker der Physik"
unbedingt kaufen musste und las, dessen letzter Text die Relativitätstheorie Einsteins enthält, bin ich begeistert von der stilistischen Klarheit seiner Sätze. In meiner Jugend, als ich Einstein für mich entdeckte, traute ich mich nicht an den Originaltext heran.

Unser Physiklehrer des Abendgymnasiums war sehr cool, denn er unterrichtete uns in Astronomie je 35 Minuten. Die letzten 10 verwendete er auf den offiziellen Lehrstoff, der auch geprüft wurde. Seitdem liebe ich Astronomie. Die ganze Klasse entschied sich glücklicherweise, sein Angebot anzunehmen.

 Graeculus meinte dazu am 12.07.23 um 23:42:
Ein faszinierendes Fach, die Astronomie!

In der Tat war Einstein kein schlechter Stilist; die grundlegenden Aufsätze über Spezielle und Allgemeine Relativitätstheorie sind allerdings in der Fachsprache der Physik verfaßt: der Mathematik. Ich kann sie dir mal zeigen Ende August. Da hört's für uns wohl auf, das übersteigt unseren Horizont. Leider.

 Graeculus meinte dazu am 12.07.23 um 23:56:
An Dieter, noch zu weiter oben:

Ein Punkt hat keine Ausdehnung, eine Linie (auch eine Gerade) nur eine einzige Dimension: die Länge.
Auf dieser Annahme basiert Zenons Paradoxie vom fliegenden Pfeil. Der Pfeil fliegt seine Parabelbahn, scheint sich also zu bewegen. Zu jedem Zeitpunkt jedoch bewegt er sich nicht, weil der Punkt keine Ausdehnung hat. Da die gesamte Strecke nun aber nur aus Punkten besteht und sich zwischen zwei Punkten ausschließlich weitere Punkte befinden, kann sich der Pfeil zu keinem Zeitpunkt bewegen. Ergo: Die Wahrnehmung von Bewegung muß eine Illusion sein.

 Dieter Wal meinte dazu am 13.07.23 um 11:14:
Ich kann sie dir mal zeigen Ende August
Ich freue mich sehr darauf.

 Dieter Wal meinte dazu am 13.07.23 um 11:20:
Ein Punkt hat keine Ausdehnung, eine Linie (auch eine Gerade) nur eine einzige Dimension: die Länge.
Genau. Jetzt erinnere ich mich wieder. Das sagte auch unsere Referendarin für Mathematik in der 7. Klasse Tatjana M., in die ich total verknallt war und darum jedes Wort und jede Geste von ihr aufsog und plötzlich in Mathe auf 1 stand. Danke!

 Graeculus meinte dazu am 13.07.23 um 18:41:
So hilft die erotische Ausstrahlung der Lehrerin.

Das Rätsel, jedenfalls für mich besteht darin, wie eine eindimensionale Gerade aus lauter Punkten besteht, die selbst keinerlei Ausdehnung haben. Daraus hat Zenon die genannte Paradoxie "Der fliegende Pfeil ruht" gemacht.

 Dieter Wal meinte dazu am 13.07.23 um 18:48:
Sie unterrichtete äußerst durchdacht und charmant. Jede Stunde war gründlichst vorbereitet. Das war etwas vollkommen anderes als der Unterricht sämtlicher Lehrer sonst. Und dann fand ich sie auch noch attraktiv. Intelligente Frauen sind sexy.

Antwort geändert am 14.07.2023 um 19:39 Uhr

 Graeculus meinte dazu am 14.07.23 um 15:53:
Du sprichst von Frauen, ich von Punkten.

 Dieter Wal meinte dazu am 14.07.23 um 18:35:
Guter Punkt. Würdest auch Du öfter von Frauen anstatt Punkten sprechen. :)

Ich weiß sehr wenig von höherer Mathematik, auch wenn ich mich in Teilbereichen tiefer damit beschäftige und grundsätzlich dafür interessiere. Und wenn ich nichts darüber weiß, beginne ich nicht, mich via Google darüber mit Dir zu unterhalten. Ich bin ja kein KI-Cyborg, sondern ein überwiegend ahnungsloser und ungebildeter Mensch.

Antwort geändert am 14.07.2023 um 18:36 Uhr

 Graeculus meinte dazu am 15.07.23 um 15:25:
Höhere Mathematik? Nichtlineare Differentialgleichungen? Davon versteh (auch) ich nichts. Leider.
Das Problem mit den dimensionslosen Punkten habe ich noch verstanden. Aber diese Paradoxie ist ja nun schon über 2000 Jahre alt, und was sich seitdem in dieser Diskussion getan hat, weiß ich wiederum nicht. Das müßte ich in einem Buch nachschlagen.
War ein pfiffiger, origineller Kerl, dieser Zenon (der Eleat).

 Teichhüpfer (18.07.23, 16:40)
Graeculus, das ist dieses Licht über seine Zeitmaßstab, dadurch gekrümmt. Aber ich will sagen, daß die Römer mit den aktuellen Nazis nix zu tun haben. Das sind Faschisten. Deine Beiträge im Forum mit den Römern, finde ich gut.

Kommentar geändert am 18.07.2023 um 16:45 Uhr

 Graeculus meinte dazu am 18.07.23 um 18:29:
Über Griechen und Römer zu schreiben, ist auch eine Art, die Nazis zu umgehen.

 remmaker meinte dazu am 19.07.23 um 13:18:
Wie kann man nur von Physik und Astrophysik auf das Thema zu Faschisten schwenken, das in das Gebiet der Psychologie gehört, eventuell sogar zur Psychiatrie.

Ich habe ein gutes Gefühl, wenn ich weiß, keiner der Größen kann mir etwas anhaben und meinen Ansichten widersprechen. Mit diesem Wissen fällt es mir leichter zu behaupten, dass es keine Gerade gibt. Riemann kam doch genau genommen zum gleichen Schluss.

 Graeculus meinte dazu am 19.07.23 um 14:16:
1. Teichhüpfer hat des öfteren überraschende Assoziationen. So ist er eben.

2. Es gibt keine Gerade in der Realität oder in der Geometrie?

 Teichhüpfer meinte dazu am 19.07.23 um 16:37:
Da gibt zwei Typen, der Eine geht dahin, und der andere will da raus. Ich gehöre zu denen, ich geh dahin.

 Teichhüpfer meinte dazu am 19.07.23 um 16:37:
Das ist die Realität, sind wir schnelle als das Licht, kommt die Biegung im Raum, Graeculus.

Antwort geändert am 19.07.2023 um 16:41 Uhr
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